MATEMATYCZNE PODSTAWY ALGORYTMÓW OPARTYCH NA WIELOWYMIAROWYCH KOPUŁACH ARCHIMEDESOWSKICH

Natura wielu zjawisk i procesów zachodzących w szeroko rozumianej rzeczywistości fizycznej jest bardzo złożona. Podejmowane próby ich opisu prowadzą do konstrukcji rozmaitych modeli. W tym postępowaniu można wskazać dwa odmienne podejścia: deterministyczne oraz probabilistyczne. Oba powinny uwzględniać wielowymiarową strukturę badanych zjawisk. W rozprawie proponujemy narzędzia rozwijające metody podejścia probabilistycznego do opisu rzeczywistości fizycznej. Jednym z centralnych zagadnień eksploracji danych (data mining) jest tworzenie modeli wielowymiarowych, w szczególności modeli wektorów losowych. Dla przypadku dwuwymiarowego istnieje wiele sprawdzonych i uznanych metodologii prowadzących do budowy takich modeli. W przeciwieństwie do tego, zestaw narzędzi matematycznych do konstrukcji i opisu modeli o wyższych wymiarach jest ubogi. Są to głównie metody liniowe lub metody wykorzystujące wielokrotne złożenia dwuwymiarowych projekcji. Dla wysokich wymiarów tradycyjne modele szybko stają się bardzo złożone, na przykład o zbyt wielu współczynnikach. Pociąga to za sobą, między innymi, wymaganie próbek o bardzo dużej liczności; powoduje również znaczącą komplikację algorytmów estymacji współczynników. Z drugiej strony, motywowana tym stanem rzeczy tendencja do upraszczania modeli prowadzi do ich nieadekwatności w szeregu zastasowań lub ich słabego uzasadnienia teoretycznego. W konsekwencji, wskazane powody sprawiają, że zbudowane modele mogą nie posiadać pożądanych własności, zwłaszcza dla zastosowań technicznych (różniczkowalność, gładkość). Niewątpliwie, rozwinięcie teorii wielowymiarowych kopuł archimedesowskich przyczyni się do wzmocnienia fundamentu matematycznego eksploracji danych.